Eine wichtige Rolle im Mathematikunterricht spielt der Funktionsbegriff.

In diesem Abschnitt wollen wir den Computer benutzen, um Funktionen aus ihren Eigenschaften zu bestimmen.

Zunächst wollen wir uns überlegen, aus welchen gegebenen Stücken sich eine lineare Funktion bestimmen lässt. Eine lineare Funktion lässt sich aus den folgenden Stücken bestimmen.

1. Anstieg und ein Punkt
2. zwei Punkte

Nun soll ein Programm entwickelt werden, mit dem sich zunächst für die zwei Fälle die Funktionsgleichung ermitteln lässt. Weiterhin soll das Programm die Funktionseigenschaften Nullstelle und Monotonie der jeweiligen Funktion mit ausgeben.

Um uns der Lösung zu nähern, wollen wir zunächst ein bisschen rechnen.

Aufgabe 1

Ermittle jeweils die Gleichung der linearen Funktion aus dem gegebenen Punkt und den Anstieg. Löse die Aufgaben ohne Verwendung eines Taschenrechners!

a) $m=3, \text{P}(3|4)\quad$ b) $m=-\dfrac{1}{3}, \text{P}(0|0)\quad$ c) $m=0, \text{P}\left(\dfrac{1}{2}|-\dfrac{1}{3}\right)\quad$ d) $m, \text{P}\left(x_p|y_p\right)$

Aufgabe 2

Ermittle jeweils die Gleichung der linearen Funktion aus den zwei gegebenen Punkten, wenn möglich. Löse die Aufgaben ohne Verwendung eines Taschenrechners!

a) $\text{P}_1\left(-1|-3\right), \text{P}_2\left(1|5\right)\quad$ b) $\text{P}_1\left(0|1,5\right), \text{P}_2\left(-2|9,5\right)\quad$ c) $\text{P}_1\left(\dfrac{1}{2}|4\right), \text{P}_2\left(\dfrac{2}{3}|4\right)\quad$

d) $\text{P}_1\left(3|4\right), \text{P}_2\left(3|7\right)\quad$ e) $\text{P}_1\left(x_1|y_1\right), \text{P}_2\left(x_2|y_2\right)\quad$

Aufgabe 3

Ermittle für die folgenden linearen Funktionen jeweils die Monotonie und die Nullstelle!

a) $f(x)=2x-1\quad$ b) $f(x)=-\dfrac{3}{8}x+\dfrac{1}{4}\quad$ c) $f(x)=3\quad$ d) $f(x)=0$

Aufgabe 4

Schreibe ein Pythonprogramm, welches nach Eingabe des Anstiegs m und eines Punktes P die Gleichung der entsprechenden linearen Funktion ermittelt. Das Programm soll auch alle Sonderfälle behandeln.

Aufgabe 5

Schreibe ein Pythonprogramm, welches nach Eingabe zweier Punkte die Gleichung der entsprechenden linearen Funktion ermittelt. Das Programm soll auch alle Sonderfälle behandeln.

Aufgabe 6

Schreibe ein Pythonprogramm, welches der Gleichung einer linearen Funktion die Monotonie und die Nullstelle der Funktion ermittelt. Das Programm soll auch alle Sonderfälle behandeln.

Aufgabe 7

Die Programme aus den Aufgaben 4 bis 6 sollen verbessert werden. Zunächst soll es möglich sein, die Koordinaten bzw. m und n in Form von Brüchen z.B $-\dfrac{2}{3}$ als „-2/3“ einzugeben. Beschäftige dich dazu mit dem Modul fractions:

https://docs.python.org/3/library/fractions.html

Weiterhin sollen die Programme bei beliebigen falschen Eingaben nicht abstürzen. Stattdessen soll eine Fehlermeldung ausgegeben werde und die Eingabe soll wiederholt werden. Beschäftige dich dazu mit dem Konstrukt try-except:

https://docs.python.org/3/tutorial/errors.html

Verbessere die Programme entsprechend.

Arbeitsblatt 1 als PDF-Datei

Ein Spezialfall einer quadratischen Funktion entsteht, wenn man für den Parameter vor $x^2$ den Wert 1 einsetzt.

Allgemeine quadratische Funktionen haben die Parameter a, b und c, die gesucht sind, wenn man die Funktionsgleichung bestimmen möchte. Für diesen allgemeinen Fall benötigt man 3 Punkte. Wenn man die Punkte einsetzt, erhält man ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten.

Bei quadratischen Gleichungen in Normalform werden sind nur die Parameter p und q gesucht. In diesem Fall genügen zwei Punkte um die Funktionsgleichung zu bestimmen.

Beginnen wir mit den einfacheren Fall:

Beispiel 1

Ermittle die Gleichung der quadratischen Funktion, die durch die Punkte $P_1(-2|15)$ und $P_2(4|9)$ geht!

$f(x) = x^2 +px + q$

Einsetzen:

$f(-2)=(-2)^2+p \cdot (-2)+q=15$
$f(4)=(4)^2+p \cdot 4+q=9$

Gleichungssystem aufstellen und lösen:

I $\quad -2p+q=11$
II $\quad \, \, \, 4p+q=-7$

I-II $\quad -6p=18$
$\qquad \quad \,\,\, \underline{p=-3}$

$4+2 \cdot 3 + q = 15$
$\qquad \qquad \, \, \, \, \underline{q = 5} $

$\underline{\underline{f(x)=x^2-3x+5}}$

Beispiel 2

Ermittle die Gleichung der quadratischen Funktion, die durch die Punkte $P_1(-1|1)$, $P_2(3|-1)$ und $P_3(5|7)$ geht!

$f(x)=ax^2+bx+c$

Einsetzen:

$f(-1)=a \cdot (-1)^2+b \cdot (-1) +c =1$
$f(3)=a \cdot 3^2+b \cdot 3 +c =-1$
$f(5)=a \cdot 5^2+b \cdot 5 +c =7$

Gleichungssystem aufstellen:

I $\qquad \quad \, a-b+c=1$
II $\qquad 9a+3b+c=-1$
III $\quad \, \, 25a+5b+c=7$

Additionsverfahren:

II-I: $\qquad 8a+4b=-2 \quad \vert :2$
$\qquad \quad \, \, 4a+2b=-1\quad$ I'

III-I: $\qquad 24a+6b=6 \quad \vert :6$
$\qquad \quad \quad \, \, \, 4a+b=1 \quad$ II'

I'-II': $\qquad \underline{b=-2}$

$b$ in II': $\qquad 4a-2=1$
$\qquad \qquad \qquad \, \, \, \, \underline{a=\dfrac{3}{4}}$

$a,b$ in I: $\qquad \dfrac{3}{4}-(-2)+c=1$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, \, \, \underline{c=-\dfrac{7}{4}}$

$\underline{\underline{f(x)=\dfrac{3}{4}x^2-2x-\dfrac{7}{4}}}$

Aufgabe 8:

Ermittle jeweils ohne Rechenhilfsmittel die quadratische Funktion in Normalform, die durch die beiden Punkte geht. Überprüfe dein Ergebnis mit dem Taschenrechner oder mit Geogebra.

In einem Fall lässt sich keine Funktionsgleichung finden. Überlege allgemein, wann das passiert.

a) $P_1(-1|3), P_2(2 | -6) \quad$ b) $P_1(3|4), P_2 \left(1 | -\dfrac{1}{2} \right) \quad$ c) $P_1(-2|-1), P_2(-2 | 3)$

Aufgabe 9:

Versuche die Aufgabe allgemein zu lösen!

$P_1(x_1|y_1), P_2(x_2 | y_2)$

Aufgabe 10:

Schreibe ein Pythonprogramm welches nach Eingabe zweier Punkte die zugehörige Gleichung der quadratischen Funktion in Normalform ermittelt! Dabei sollen die folgenden Punkte beachtet werden:

• Die Koordinaten sollen mit Hilfe der Klasse Fractions als Brüche eingegeben werden können.
• Falsche Eingaben sollen mit try - except abgefangen werden.
• Das Programm soll erkennen, wenn sich aus den eingegeben Punkten keine quadratische Funktion ermitteln lässt.

Aufgabe 11:

Ermittle jeweils ohne Rechenhilfsmittel die quadratische Funktion, die durch die drei Punkte geht. Überprüfe dein Ergebnis mit dem Taschenrechner oder mit Geogebra.

In einigen Fällen lässt sich keine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion finden. Überlege allgemein, wann das passiert.

a) $P_1(0|2), P_2(1|4), P_3(2|4) \quad$ b) $P_1(-1|12), P_2(2|15), P_3(5|-18) \quad$
c) $P_1(-4|-2), P_2(1|10), P_3(6|7) \quad$ d) $P_1(-1|3), P_2(2|3), P_3(5|3) \quad$
e) $P_1(-1|1), P_2(1|3), P_3(2|4) \quad$

Aufgabe 12:

Versuche die Aufgabe allgemein zu lösen!

$P_1(x_1|y_1), P_2(x_2 | y_2), P_3(x_3|y_3)$

Aufgabe 13:

Schreibe ein Pythonprogramm welches nach Eingabe dreier Punkte die zugehörige Gleichung der quadratischen Funktion ermittelt! Dabei sollen die folgenden Punkte beachtet werden:

• Die Koordinaten sollen mit Hilfe der Klasse Fractions als Brüche eingegeben werden können.
• Falsche Eingaben sollen mit try - except abgefangen werden.
• Das Programm soll erkennen, wenn sich aus den eingegeben Punkten keine quadratische Funktion ermitteln lässt.

(Eine Berechnungsmöglichkeit für die Koeffizienten a, b und c findet man hier: https://www.arndt-bruenner.de/mathe/10/parabeldurchdreipunkte.htm)

Arbeitsblatt 2 als PDF-Datei

Erstelle mit deinem Partner ein Pythonprogramm, welches nach Eingabe der Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ einer quadratischen Funktion der Form $f(x)=ax^2+bx+c \quad (a \neq 0)$ die folgenden Funktionseigenschaften ermittelt:

• Nullstellen
• Scheitelpunkt
• Monotonie

Im Programm sollen alle Zahlen (außer den Nullstellen) mit Hilfe der Klasse Fractions dargestellt werden. Falsche Eingaben sollen mit try-except abgefangen werden. Die Eingabe von a = 0 soll verhindert werden. Das Programm soll in einer Schleife laufen, dass immer wieder abfragt, ob das Programm beendet werden soll.

Beide Partner müssen das gesamte Programm erklären können. Durch Kommentare muss gekennzeichnet sein, wer welchen Programmteil erstellt hat.

Auf elegante Lösungen und zusätzliche Programm-Features gibt es Zusatzpunkte.

Beispielprogramm:

projekt01.zip

(In den nächsten Jahren werden noch weitere Projekte ergänzt.)