Das Dualsystem

In einem Stellenwert- oder Positionssystem hängt der Zahlenwert einer Ziffer von der Position innerhalb der Zahl ab.

Unser Zahlsystem, das Dezimalsystem ist ein Stellenwertsystem. Es wurde von den Indern, die erstmalig ein Zahlzeichen für die Null hatten, entwickelt und kam über den arabischen Raum im Mittelalter nach Europa. Von den Arabern stammen auch unsere Zahlzeichen. Die Vorteile des Dezimalsystems gegenüber den Römischen Zahlen werden im folgenden Abschnitt verdeutlicht.

Bereits aus der Grundschule kennst du die Stellentafel und das Zerlegen von Zahlen in Zehnerpotenzen. Hier ein Beispiel:

$$3045=3\cdot10^3+0\cdot10^2+4\cdot10^1+5\cdot10^0=3\cdot1000+0\cdot100+4\cdot10+5\cdot1$$

Diese Zahl kann man natürlich auch in eine Stellentafel (Siehe Tabelle 3!) eintragen.

Tabelle 3: Stellentafel im Dezimalsystem

$10^4=10000$	$10^3=1000$	$10^2=100$	$10^1=10$	$10^0=1$
$0$	$3$	$0$	$4$	$5$

Es stellt sich nun die Frage, warum die Inder gerade die Basis 10 und damit zehn Zahlzeichen für ihr Zahlsystem benutzten. Eine mögliche Erklärung ist, dass unsere beiden Hände zusammen zehn Finger haben. In anderen Kulturen entstanden Positionssysteme mit anderen Basen.

Für Positionssysteme lassen sich beliebige natürliche Zahlen als Basis benutzen. Eine besonders wichtige Rolle in der Computertechnik spielt das Dualsystem (Positionssystem mit der Basis 2). Das Dualsystem in der heutigen Form wurde von Gottfried Wilhelm Leibniz bereits am Ende des 17. Jahrhunderts entwickelt, als es noch gar keine Computer gab.

An Stelle der Zehnerpotenzen verwendet man im Dualsystem die Zweierpotenzen. Damit ergibt sich die folgende Stellenwerttafel für das Dualsystem:

Tabelle 4: Stellentafel im Dualsystem

$2^7=128$	$2^6=64$	$2^5=32$	$2^4=16$	$2^3=8$	$2^2=4$	$2^1=2$	$2^0=1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$	$1$

Die hier dargestellte Zahl ist die Zahl

$$(10010011)_2=1 \cdot 128 + 0 \cdot 64 + 0 \cdot 32 + 1 \cdot 16 + 0 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 147$$

Will man umgekehrt eine Zahl aus dem Dezimalsystem in das Dualsystem umwandeln, so zerlegt man die Zahl zunächst in eine Summe aus Zweierpotenzen:

$$101 = 64 + 32 + 4 + 1$$

Danach trägt man die Zahl in die Stellentafel des Dualsystems ein. Für jede vorhandene Zweierpotenz schreibt man eine 1, für jede nicht vorhandene eine 0.

Tabelle 5: Umwandeln von Dualzahlen in Dezimalzahlen

$2^7=128$	$2^6=64$	$2^5=32$	$2^4=16$	$2^3=8$	$2^2=4$	$2^1=2$	$2^0=1$
$0$	$1$	$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$1$

Danach braucht man die Zahl nur noch abzuschreiben. Führende Nullen können dabei weggelassen werden.

$$101 = 64 + 32 + 4 + 1 = (1100101)_2$$

Erklärvideo: