Bereits in Klasse 7 haben Sie die Dualzahlen (oder auch Binärzahlen) kennengelernt. Digitale Systeme arbeiten auf Basis des Dualsystems, weil sich die beiden Ziffern 0 und 1 besonders einfach umsetzen lassen (0 ≙ 0V, 1 ≙ 5V).

Genau wie das Dezimalsystem ist das Dualsystem ein Stellenwertsystem. Im Unterschied zum Dezimalsystem, arbeitet es nicht mit Zehnerpotenzen, sondern mit Zweierpotenzen.

Beispiel 1
Darstellung der Dezimalzahl in der Stellentafel:

Beispiel 2
Darstellung der Binärzahl in der Stellentafel:

Um eine Binärzahl ins Dezimalsystem umzurechnen, trägt man sie einfach in eine Stellentafel ein und addiert die Zweierpotenzen, bei denen in der Stellentafel eine 1 steht.

Beispiel 3
(Zahl aus Beispiel 2)

$(10010011)_2 = 128 + 16 + 2 + 1 = 147$

Beispiel 4

Um eine Dezimalzahl ins Binärsystem umzurechnen, zerlegt man sie zunächst in eine Summe aus Zweierpotenzen:

$156 = 128 + 16 + 8 + 4$

Nun trägt man bei allen auftretenden Zweierpotenzen in die Stellentafel eine 1 ein, ansonsten trägt man Nullen ein:

Nun kann man die Zahl einfach aus der Stellentafel ablesen, wobei man führende Nullen weglassen kann:

$\rightarrow (10011100)_2$

Beispiel 5

Eine weitere Möglichkeit um Dezimalzahlen in Dualzahlen umzurechnen ist die fortgesetzte Division mit Rest, bis sich 0 ergibt:

$$ \begin{array}{rcll} 156 : 2&=&78 & \text{Rest } 0 \\ 78 : 2&=&39 & \text{Rest } 0 \\ 39 : 2&=&19 & \text{Rest } 1 \\ 19 : 2&=&9 & \text{Rest } 1 \\ 9 : 2&=&4 & \text{Rest } 1 \\ 4 : 2&=&2 & \text{Rest } 0 \\ 2 : 2&=&1 & \text{Rest } 0 \\ 1 : 2&=&0 & \text{Rest } 1 \\ \end{array} $$

Das schriftliche Addieren von Dualzahlen unterscheidet sich nicht wesentlich von der Durchführung des Verfahrens bei Dezimalzahlen. Der Unterschied besteht lediglich darin, dass sich bereits bei 2 ein Übertrag ergibt:

Beispiel 6

$6 + 5 = (110)_2 + (101)_2 = (1011)_2 =11$

$$ \begin{array}{lr} &110\\ +&101\\ \hline &\underline {\underline {1011}} \\ \end{array} $$

Beispiel 7

$27 + 34 = (11011)_2 + (100010)_2 = (111101)_2 =61$

$$ \begin{array}{lr} &11011\\ +&100010\\ \hline &\underline {\underline {111101}} \end{array} $$

Eine spezielle Operation mit Dualzahlen, die von den Dezimalzahlen her nicht gebräuchlich sind. Dabei handelt es sich um die Bildung des Komplements (d.h. der Ergänzung). Wir unterscheiden dabei zwischen Einer- und Zweierkomplement. Das Zweierkomplement ist dabei die Dualzahl, die zu einer vorgegebenen Dualzahl addiert werden muss, um auf eine bestimmte Zweierpotenz zu kommen. Das Einerkomplement entspricht dem Zweierkomplement - 1.

Die zu erreichende Zweierpotenz hängt von der Wortbreite (maximale Länge eines Befehls, der durch den Prozessor verarbeitet werden kann). Moderne CPUs können Befehle mit einer Breite von 64 Bit verarbeiten, man verwendet aber als Wortbreite meist 32 Bit um abwärts kompatibel zu sein. Wir verwenden für unsere Übungen eine Wortbreite von 8 Bit.

Bei einer Wortbreite von 8 Bit ist das Zweierkomplement die Zahl, die zur Ausgangszahl addiert werden muss, dass die Zweierpotenz erreicht wird. Das ist die erste Zweierpotenz, die sich mit 8 Bit Wortbreite nicht mehr darstellen lässt.

Beispiel 8
Gegeben ist die Dualzahl $(1001000)_2 = 80$. Um das Zweierkomplement bei einer Wortbreite von 8 Bit zu bilden, führen wird die folgenden drei Schritte durch:

1. Ergänzen der Zahl durch führende Nullen auf 8 Stellen: $$01001000$$
2. Das Einerkomplement bildet man, indem man alle Stellen der Zahl umkehrt, d.h. aus einer 0 wird eine 1 und aus einer 1 wird eine 0:$$\begin{array}{lr}\text{Zahl: } & 01001000 \\ \text{Einerkomplement: }&10110111 \\ \end{array}$$
3. Zum Einerkomplement addiert man nun noch die Zahl 1 um das Zweierkomplement zu erhalten: $$ \begin{array}{rlr} \text{Einerkomplement: }&&10110111 \\ &+&1 \\ \text{Zweierkomplement: } &&\underline {\underline {10111000}} \end{array}$$

Beispiel 9

Die schriftliche Subtraktion von Dualzahlen funktioniert analog zur Subtraktion von Dezimalzahlen:

$$ \begin{array}{lr} &110100\\ -&10011\\ \hline &\underline {\underline {100001}} \end{array} $$

Beispiel 10

Man kann Dualzahlen aber auch subtrahieren, indem man indem man das Zweierkomplement des Subtrahend addiert. Die entstehende Zahl ist dann größer als die Wortbreite und die führende Eins fällt dann einfach weg.

Einerkomplement von $00010011 \rightarrow 11101100$
Zweierkomplement: $11101100 + 1 = 11101101$

$$ \begin{array}{lr} &110100\\ +&11101101\\ \hline &\underline {\underline {(1)00100001}} \end{array} $$

Auch wenn die Wortbreite größer ist, würden solange führende Nullen entstehen, bis die entsprechende Zweierpotenz ($2^{32}$ bzw. $2^{64}$) erreicht ist.