1.1 Zahlsysteme

Dualsystem

Bereits in Klasse 7 haben Sie die Dualzahlen (oder auch Binärzahlen) kennengelernt. Digitale Systeme arbeiten auf Basis des Dualsystems, weil sich die beiden Ziffern 0 und 1 besonders einfach umsetzen lassen (0 ≙ 0V, 1 ≙ 5V).

Genau wie das Dezimalsystem ist das Dualsystem ein Stellenwertsystem. Im Unterschied zum Dezimalsystem, arbeitet es nicht mit Zehnerpotenzen, sondern mit Zweierpotenzen.

Beispiel 1
Darstellung der Dezimalzahl in der Stellentafel:

$10^4=10000$	$10^3=1000$	$10^2=100$	$10^1=10$	$10^0=1$
$0$	$3$	$0$	$4$	$5$

Beispiel 2
Darstellung der Binärzahl in der Stellentafel:

$2^7=128$	$2^6=64$	$2^5=32$	$2^4=16$	$2^3=8$	$2^2=4$	$2^1=2$	$2^0=1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$	$1$

Umwandeln von Dualzahlen in Dezimalzahlen und umgekehrt

Umwandeln von Dualzahlen in Dezimalzahlen

Um eine Binärzahl ins Dezimalsystem umzurechnen, trägt man sie einfach in eine Stellentafel ein und addiert die Zweierpotenzen, bei denen in der Stellentafel eine 1 steht.

Beispiel 3
(Zahl aus Beispiel 2)

$(10010011)_2 = 128 + 16 + 2 + 1 = 147$

Umwandeln von Dezimalzahlen in Dualzahlen

Beispiel 4

Um eine Dezimalzahl ins Binärsystem umzurechnen, zerlegt man sie zunächst in eine Summe aus Zweierpotenzen:

$156 = 128 + 16 + 8 + 4$

Nun trägt man bei allen auftretenden Zweierpotenzen in die Stellentafel eine 1 ein, ansonsten trägt man Nullen ein:

$2^7=128$	$2^6=64$	$2^5=32$	$2^4=16$	$2^3=8$	$2^2=4$	$2^1=2$	$2^0=1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$0$	$0$

Nun kann man die Zahl einfach aus der Stellentafel ablesen, wobei man führende Nullen weglassen kann:

$\rightarrow (10011100)_2$

Beispiel 5

Eine weitere Möglichkeit um Dezimalzahlen in Dualzahlen umzurechnen ist die fortgesetzte Division mit Rest, bis sich 0 ergibt:

$$ \begin{array}{rcll} 156 : 2&=&78 & \text{Rest } 0 \\ 78 : 2&=&39 & \text{Rest } 0 \\ 39 : 2&=&19 & \text{Rest } 1 \\ 19 : 2&=&9 & \text{Rest } 1 \\ 9 : 2&=&4 & \text{Rest } 1 \\ 4 : 2&=&2 & \text{Rest } 0 \\ 2 : 2&=&1 & \text{Rest } 0 \\ 1 : 2&=&0 & \text{Rest } 1 \\ \end{array} $$

Rechnen mit Dualzahlen

Addition von Dualzahlen

Das schriftliche Addieren von Dualzahlen unterscheidet sich nicht wesentlich von der Durchführung des Verfahrens bei Dezimalzahlen. Der Unterschied besteht lediglich darin, dass sich bereits bei 2 ein Übertrag ergibt:

Beispiel 6

$6 + 5 = (110)_2 + (101)_2 = (1011)_2 =11$

$$ \begin{array}{lr} &110\\ +&101\\ \hline &\underline {\underline {1011}} \\ \end{array} $$

Beispiel 7

$27 + 34 = (11011)_2 + (100010)_2 = (111101)_2 =61$

$$ \begin{array}{lr} &11011\\ +&100010\\ \hline &\underline {\underline {111101}} \end{array} $$