1.1.4 Boolsche Algebra

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George Boole

Mathematische Logik (speziell die Aussagenlogik) spielt auch in der Informatik, speziell bei der bei der Konstruktion von Mikroprozessoren , eine große Rolle. Hier spricht man von Schaltalgebra.

Insgesamt hat sich dafür der Begriff Boolsche Algebra (benannt nach George Boole) eingebürgert.

In der Mathematik ist eine Aussage ein sprachliches Gebilde, von dem man entscheiden kann, ob es wahr oder falsch ist. In der Informatik betrachtet man nur Variablen, die die Werte 1 (für wahr) und 0 (für falsch) annehmen können. In einer konkreten Schaltung sind das Kontakte, an denen Spannung anliegt (1) oder keine Spannung anliegt (0). Diese Aussagen/Variablen werden durch große Buchstaben A, B, C … repräsentiert.

Logische Funktionen

Über diese Variablen/Aussagen kann man nun logische Funktionen definieren. In der Mathematik würde man von der Verknüpfung von Aussagen sprechen.

Die Negation (NOT) einer Aussage $A$ ist genau wahr, wenn $A$ nicht wahr ist.

Schreibweise: $\overline{A}$

Beispiel:

$A:$ Informatik ist cool.

$\overline A:$ Informatik ist nicht cool.

* Wahrheitstabelle:

$A$	$\overline{A}$
0	1
1	0

Die Konjunktion (AND) der Aussage $A$ und $B$ ist genau wahr, wenn $A$ und $B$ wahr sind.

Schreibweise: $A \wedge B$

Beispiel:

$A:$ Heute ist es warm.

$B:$ Heute ist schönes Wetter.

$A \wedge B:$ Heute ist es warm und es ist schönes Wetter.

Wahrheitstabelle:

$A$	$B$	$A \wedge B$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Die Disjunktion (OR) der Aussagen $A$ und $B$ ist genau wahr, wenn $A$ oder $B$ wahr oder beide wahr sind.

Schreibweise: $A \vee B$

Beispiel:

$A:$ Heute ist es warm.

$B:$ Heute ist schönes Wetter.

$A \vee B:$ Heute ist es warm oder es ist schönes Wetter.

Wahrheitstabelle:

$A$	$B$	$A \vee B$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Erstellen einer Wahrheitstabelle

Wahrheitstabellen lassen sich auch für zusammengesetzte Aussagen erstellen, z.B. $\overline{A \wedge \overline{B}}$ :

$A$	$B$	$\overline{B}$	$A \wedge \overline{B}$	$\overline{A \wedge \overline{B}}$
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	0	1

Disjunktive Normalform

Mit Hilfe der Disjunktiven Normalform lässt sich aus einer Wahrheitstabelle der entsprechende logische Ausdruck rekonstruieren. Dabei wird jede Zeile der Wahrheitstabelle mit dem Ergebnis 1 als AND-Verknüpfung notiert. Anschließend werden diese AND-Verknüpfungen mit OR verbunden.

$A$	$B$ $X$
0	0	0
0	1	1	$\bar{A} \wedge B$
1	0	0
1	1	1	$A \wedge B$

$X = (\bar A \wedge B) \vee (A \vee B)$

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Wikipedia