Wiederholung Funktionen

Da Funktionen in der Differentialrechnung eine zentrale Rolle spielen, soll unser bisheriges Wissen an dieser Stelle nochmal wiederholt und gefestigt werden.

Funktionsbegriff - Darstellungsformen von Funktionen

Definition

Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung (Abbildung), die jedem Element x aus einer Menge D eindeutig ein Element y aus einer Menge W zuordnet. Es entsteht eine Menge geordneter Paare. D heißt Definitionsbereich, W Wertebereich der Funktion f; x nennt man Argument, das zugeordnete Element y aus W heißt Funktionswert von x und wird auch mit f(x) bezeichnet.

Wem die Definition nicht mehr ganz klar ist, der kann sich dazu das folgende Erklärvideo anschauen:

Funktionale Zusammenhänge lassen sich durch Wortvorschriften, Wertetabellen, grafische Darstellungen oder Gleichungen beschreiben.

Beispiel

In diesem Beispiel soll eine Funktion in allen Darstellungsformen beschrieben werden.

Wortvorschrift:

$f:$ Einer reellen Zahl ist ihr Doppeltes zugeordnet.

Funktionsgleichung:

$y=f(x)=2 \cdot x \qquad x \in \mathbb{R}$

Wertetabelle:

x	-1	0	1	2	2,4	$\frac{7}{2}$
y	-2	0	2	4	4,8	7

Grafische Darstellung:

(In der Wertetabelle und in der grafischen Darstellung können natürlich nicht alle Wertepaare dargestellt werden.)

Aufgaben

Aufgabe 1

Entscheide für die folgenden Abbildungen, ob es sich um eine Funktion oder keine Funktion handelt. Entscheide bei den Funktionen, ob die Abbildung eineindeutig (die Funktion umkehrbar) ist.

Aufgabe 2

Die folgenden Funktionen sind in jeweils einer Darstellungsform gegeben. Finde die anderen Darstellungsformen, wenn möglich.

a) Wortvorschrift: Jeder reellen Zahl ist ihr Reziprokes zugeordnet.

Gesucht: Gleichung, Wertetabelle, grafische Darstellung

b) Gleichung: $f(x)=x^3 \qquad x \in \mathbb{R}$

Gesucht: Wortvorschrift, Wertetabelle, grafische Darstellung

c)