======1.1.4 Boolsche Algebra======



(([[https://de.wikipedia.org/wiki/George_Boole | Wikipedia]]))

**George Boole**

{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/George_Boole_color.jpg/250px-George_Boole_color.jpg?direct&300 |}}

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**Mathematische Logik** (speziell die Aussagenlogik) spielt auch in der Informatik, speziell bei der bei der Konstruktion von Mikroprozessoren , eine große Rolle. Hier spricht man von **Schaltalgebra.** 


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Insgesamt hat sich dafür der Begriff **Boolsche Algebra** (benannt nach [[https://de.wikipedia.org/wiki/George_Boole | George Boole]]) eingebürgert.


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In der Mathematik ist eine Aussage ein sprachliches Gebilde, von dem man entscheiden kann, ob es **wahr** oder **falsch** ist. In der Informatik betrachtet man nur Variablen, die die Werte 1 (für wahr) und 0 (für falsch) annehmen können. In einer konkreten Schaltung sind das Kontakte, an denen Spannung anliegt (1) oder keine Spannung anliegt (0).
Diese Aussagen/Variablen werden durch große Buchstaben A, B, C ... repräsentiert.


=====Logische Funktionen=====

Über diese Variablen/Aussagen kann man nun logische Funktionen definieren. In der Mathematik würde man von der Verknüpfung von Aussagen sprechen.

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<WRAP center round info 60%>
Die **Negation (NOT)** einer Aussage $A$ ist genau wahr, wenn $A$ nicht wahr ist.

Schreibweise: $\overline{A}$
</WRAP>

**Beispiel:**

$A:$ Informatik ist cool.

$\overline A:$ Informatik ist nicht cool.


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*
**Wahrheitstabelle:**

^ $A$ ^ $\overline{A}$ |
| 0   | 1              |
| 1   | 0              |


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<WRAP center round info 60%>
Die **Konjunktion (AND)** der Aussage $A$ und $B$ ist genau wahr, wenn $A$ und $B$ wahr sind.

Schreibweise: $A \wedge B$ 
</WRAP>

**Beispiel:**

$A:$ Heute ist es warm.

$B:$ Heute ist schönes Wetter.

$A \wedge B:$  Heute ist es warm und es ist schönes Wetter.

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**Wahrheitstabelle:**

^ $A$ ^ $B$ ^ $A \wedge B$ |
| 0   | 0   | 0            |
| 0   | 1   | 0            |
| 1   | 0   | 0            |
| 1   | 1   | 1            |

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<WRAP center round info 60%>
Die **Disjunktion (OR)** der Aussagen $A$ und $B$ ist genau wahr, wenn $A$ oder $B$ wahr oder beide wahr sind.

Schreibweise: $A \vee B$ 
</WRAP>

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**Beispiel:**

$A:$ Heute ist es warm.

$B:$ Heute ist schönes Wetter.

$A \vee B:$  Heute ist es warm oder es ist schönes Wetter.

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**Wahrheitstabelle:**

^ $A$ ^ $B$ ^ $A \vee B$ |
| 0   | 0   | 0          |
| 0   | 1   | 1          |
| 1   | 0   | 1          |
| 1   | 1   | 1          |

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=====Erstellen einer Wahrheitstabelle=====

Wahrheitstabellen lassen sich auch für zusammengesetzte Aussagen erstellen, z.B. $\overline{A \wedge \overline{B}}$  :

^ $A$ ^ $B$ ^ $\overline{B}$ ^ $A \wedge \overline{B}$ ^ $\overline{A \wedge \overline{B}}$ |
| 0   | 0   | 1              | 0                       | 1                                  |
| 0   | 1   | 0              | 0                       | 1                                  |
| 1   | 0   | 1              | 1                       | 0                                  |
| 1   | 1   | 0              | 0                       | 1                                  |


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=====Disjunktive Normalform=====

Mit Hilfe der **Disjunktiven Normalform** lässt sich aus einer Wahrheitstabelle der entsprechende logische Ausdruck rekonstruieren. Dabei wird jede Zeile der Wahrheitstabelle mit dem Ergebnis 1 als **AND**-Verknüpfung notiert. Anschließend werden diese **AND**-Verknüpfungen mit **OR** verbunden.

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^ $A$ ^ $B$ ^ $X$ |                    |
| 0   | 0   | 0   |                    |
| 0   | 1   | 1   | $\bar{A} \wedge B$ |
| 1   | 0   | 0   |                    |
| 1   | 1   | 1   | $A \wedge B$       |



$X = (\bar A \wedge B) \vee (A \wedge B)$