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======Geometrische Sätze======
Im folgenden Abschnitt sollen einige geometrische Sätze mit der dynamischen Geometriesoftware Geogebra vermutet werden. Anschließend werden wir die Sätze beweisen. 

=====Geogebra=====

Geogebra ist eine dynamische Geometriesoftware, welche auch eine algebraische Schnittstelle entwickelt. Die Software ist frei verfügbar und kann unter

  * https://geogebra.org

heruntergeladen werden. Alternativ kann die Software auch im Webbrowser gestartet werden. Unter

  * https://wiki.geogebra.org/de/Anleitungen

findet man sehr gute Anleitungen, um den Umgang mit der Software zu lernen.

**Aufgabe 1**

Arbeite auf der Seite 

  * https://www.geogebra.org/m/yka2kZVr#chapter/407072

die Anleitung "Erste Schritte mit Geogebra" durch!

**Aufgabe 2**

Arbeite auf der Seite 

  * https://www.geogebra.org/m/yka2kZVr#chapter/407073

die Anleitung "Lerne Geogebra Geometrie" durch!

=====Einige Grundlagen aus Logik und Mengenlehre=====

Im folgenden sollen einige wichtige Begriffe der Logik und Mengenlehre dargestellt werden.


**Konstante:** Zeichen für ein bestimmtes Element einer vorgegebenen Menge

**Variable:** Zeichen für ein beliebiges Element einer vorgegebenen Menge (Die Menge wird Variablengrundbereich genannt.)

**Term:** Konstanten, Variable und deren sinnvolle Zusammensetzung mit Hilfe von Operationszeichen (Terme enthalten keine Relationszeichen. Ersetzt man die Variablen eines Terms durch Konstanten, dann geht dieser in die Bezeichnung eines Objekts, also in eine Konstante über.)

**Aussage:** Sinnvolles sprachliches Gebilde, welches entweder wahr oder falsch ist

**Aussageform:** Sprachliches Gebilde, das (mindestens eine freie) Variable enthält und zu einer Aussage wird, wenn man alle auftretenden Variablen interpretiert, d.h. durch Konstanten (des zugrunde gelegten Grundbereichs) ersetzt.

**Erfüllungsmenge:** Menge aller derjenigen Elemente eines Grundbereichs, bei denen die Aussageform durch Interpretation in eine wahre Aussage übergeht.

**Einzelaussage:** 7 ist eine Primzahl.

**Allaussage:** Alle Primzahlen, die größer als 2 sind, sind ungerade Zahlen.

**Existenzaussage:** Es gibt eine ungerade Primzahl.

**Erfüllbare Aussageform:** $$x^2=4 \qquad (x \in \mathbb{Q})$$

**Allgemeingültige Aussageform:** $$(x+1)^2 = x^2+2x+1 \qquad (x \in \mathbb{Q})$$

**Nicht erfüllbare Aussageform:** $$x^2 + 1 = x^2 + 2 \qquad (x \in \mathbb{Q})$$

**Leere Menge:** Eine Menge heißt **//leere Menge//** genau dann, wenn sie kein Element enthält. Sie wird mit $\varnothing$ oder $\lbrace\rbrace$ bezeichnet und ist die Erfüllungsmenge jeder nicht erfüllbaren Aussage.

**Definition:** Durch eine **//Definition//** wird ein neuer Name oder eine neue Bezeichnung eingeführt. Definitionen sind zweckmäßige Festlegungen und können nicht bewiesen werden. Jede Definition lässt sich in Form einer " Definitionsgleichung" schreiben und in der folgenden Form aussprechen: 

"............................ heißt _____________________ genau dann, wenn ........................... ."

**Satz:** Wahre mathematische Aussagen nennt man "Satz". Sätze werden häufig in der //Wenn-dann-Form// formuliert. Hinter wenn stehen dann die Voraussetzungen des Satzes, hinter dann die Behauptungen.

====Verknüpfungen von Aussagen und Aussageformen====

$V \Rightarrow B\qquad$ Wenn $V$, so $B$. $\qquad$ Aus $V$ folgt $B$. \\ 
$V_1 \wedge V_2 \qquad$  $V_1$ und $V_2 \qquad$  (Sowohl $V_1$ als auch $V_2$). \\ 
$V_1 \vee V_2 \qquad$  $V_1$ oder $V_2 \qquad$  (Entweder $V_1$ oder $V_2$ oder beide). \\ 
$V \Leftrightarrow B \qquad$  $V$ genau dann, wenn $B\qquad$  (Aus $V$ folgt $B$ und umgekehrt). \\ 

====Verknüpfungen von Mengen und Beziehungen zwischen Mengen====

^Durchschnitt: |$M \cap N =_{Def} \left\lbrace x | x \in M  \text{ und }  x \in N \right\rbrace $|
^Vereinigung: |$M \cup N =_{Def} \left\lbrace x | x \in M  \text{ oder }  x \in N \right\rbrace $|
^Produktmenge: | $M \times N =_{Def} \left\lbrace (x,y) | x \in M  \text{ und }  y \in N \right\rbrace $|
^Teilmengenbeziehung: | $M \subseteq N =_{Def} \text{ Wenn } x \in M, \text{so } x \in N$.|
^Gleichheit: |$M = N =_{Def} x \in M \text{ genau dann, wenn }x \in N$. | 
^echte Teilmenge: |$M \subset N =_{Def} M \subseteq N \text{ und } M \neq N$|

**Aufgabe 3**

Bilde Beispiele für Einzelaussagen, Allaussagen, Existenzaussagen, erfüllbare Aussageformen, allgemeingültige Aussageformen, nicht erfüllbare Aussageformen.

**Aufgabe 4**

Entscheide bei den folgenden sprachlichen bzw. mathematischen Gebilden, ob es sich um eine Definition (D), eine Aussage (A), eine Aussageform (Af) oder einen Term (T) handelt!

Vermerke bei den Aussageformen, ob sie allgemeingültig, erfüllbar oder nicht erfüllbar sind!

  - Die natürliche Zahl 191 ist durch 7 teilbar.
  - Natürliche Zahlen, die genau zwei Teiler besitzen, nennt man Primzahlen.
  - $2m+n+3 \qquad(m,n \in \mathbb{N})$
  - Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen.
  - $8+x<12 \qquad (x \in \mathbb{N})$
  - Für alle natürlichen Zahlen $a, b$ gilt $a+b=b+a$.
  - $x+3=1+x+2 \qquad (x \in \mathbb{N})$
  - Es gibt natürliche Zahlen $m$, für die gilt: $8+m<12$.
  - $ggT(48; 62)$ (ggT größter gemeinsamer Teiler)
  - Stets gilt: Wenn $n|a$ und $n|b$, so $n|(a+b)$. ($a|b$ $a$ ist Teiler von $b$.)
  - $kgV(x,y) + ggT(x,y)$
  - Eine natürliche Zahl heißt ungerade, wenn sie bei der Division durch 2 den Rest 1 lässt.
  - Das Produkt $x \cdot y$ aus einer geraden Zahl $x$ und einer ungeraden Zahl $y$ ist stets gerade.
  - $2|x \wedge 5|x \qquad x \in \mathbb{N}$
  - Stets gilt $(2|x \wedge 5|x) \Leftrightarrow 10|x \qquad(x \in \mathbb{N})$
  - $ggT(x; 15)=3$ 
  - $x^2+1 = 0 \qquad (x \in \mathbb{Q})$
  - Es gibt keine rationale Zahl $x$, für die $x^2 + 1 = 0$ gilt.
  - $x^2-4 = 0 \qquad(x \in \mathbb{Q})$
  - Für alle $x,y \in \mathbb{Q_+}$ gilt: Wenn $x<y$, so $x^2<y^2$.
  - Parallelogramme mit einem rechten Winkel heißen Rechtecke.
  - Stufenwinkel $\alpha, \beta$ an geschnittenen Parallelen $g, h$ sind gleich groß.
  - In jedem Rechteck sind die Diagonalen gleich lang.
  - Die Summe zweier Nebenwinkel beträgt stets 180$^\circ$. 
  - $g \parallel h; g,h \in \lbrace\text{Gerade}\rbrace$.
  - Die Mittelsenkrechte $M_{AB}$ einer Strecke $\overline{AB}$.
  - Die Stadt $S$ liegt an der Elbe; $S \in \lbrace \text{Stadt} \rbrace$.
  - Die Stadt Riesa liegt an der Elbe.
  - Der Bruder von $x$ und $y$; $\qquad x,y \in \lbrace \text{Mensch} \rbrace$.
  - $x$ ist der Bruder von $y$; $\qquad x,y \in \lbrace \text{Mensch} \rbrace$.

**Aufgabe 5**

Versuche jeweils zwei Interpretationen der gegebenen Variable $x$ zu finden, so dass die gegebene Aussageform in eine wahre bzw. falsche Einzelaussage übergeht!

  - $x|6 \qquad (x \in \mathbb{N})$
  - $2x + 1 = 2 \qquad (x \in \mathbb{Q})$
  - $2x = x + x \qquad (x \in \mathbb{Q})$
  - $x = x + 1 \qquad (x \in \mathbb{Q})$

**Aufgabe 6**

Ermittle zu jeder gegebenen Aussageform $H(x)$ jeweils die Erfüllungsmenge!

  - $x|6 \qquad x \in \mathbb{N}$
  - $6|x \qquad x \in \mathbb{N}$
  - $x < 4 \qquad x \in \mathbb{N}$
  - $x|6 \wedge 6|x \qquad x \in \mathbb{N}$
  - $x|6 \vee 6|x \qquad x \in \mathbb{N}$
  - $x|6 \wedge x<4 \qquad x \in \mathbb{N}$
  - $x|6 \vee x<4 \qquad x \in \mathbb{N}$
  - $ggT(x, 4) = 2 \qquad x \in \mathbb{N}, x>0$
  - $ggT(x; 3) = 2 \qquad x \in \mathbb{N}, x>0$
  - $kgV(x; 3) = 6 \qquad x \in \mathbb{N}, x>0$
  - $kgV(x; 6) = 6 \qquad x \in \mathbb{N}, x>0$
  - $2x+1=4 \qquad x \in \mathbb{Q}$
  - $\left( x-\dfrac{1}{2} \right) \cdot \left( x - \dfrac{3}{2}\right) = 0 \qquad x \in \mathbb{Q}$
  - $(x+1)^2=x^2+2x+1 \qquad x \in \mathbb{Q}$
  - $x^2=x^2+1 \qquad x \in \mathbb{Q}$
  - $x<x \qquad x \in \mathbb{Q}$
  - $x<x+1 \qquad x \in \mathbb{Q}$


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=====Einige Geometrische Sätze=====

====Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen====

<WRAP box round>
**Scheitelwinkelsatz**

Schreitelwinkel sind gleich groß.
</WRAP>

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<WRAP box round>
**Nebenwinkelsatz**

Die Summe der Größen zweier Nebenwinkel beträgt 180$^\circ$.
</WRAP>

{{ :profil:klasse8:geo02_nebenwinkel.png?direct&300 |}}

<WRAP box round>
**Stufenwinkelsatz**

Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
</WRAP>

{{ :profil:klasse8:geo03_stufenwinkel.png?direct&400 |}}

<WRAP box round>
**Wechselwinkelsatz**

Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
</WRAP>

{{ :profil:klasse8:geo04_wechselwinkel.png?direct&400 |}}

====Sätze über Dreiecke====

<WRAP box round>
**Innenwinkelsatz für Dreiecke**

In jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel 180$^\circ$.
</WRAP>

{{ :profil:klasse8:geo05_innenwinkel_dreiecke.png?direct&300 |}}

<WRAP box round>
**Außenwinkelwinkelsatz für Dreiecke**

Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.
</WRAP>

{{ :profil:klasse8:geo06_aussenwinkel_dreiecke.png?direct&300 |}}

<WRAP box round>
**Kongruenzsatz sws**

Zwei Dreiecke, die in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind kongruent.
</WRAP>

{{ :profil:klasse8:geo07_sws.png?direct&300 |}}


<WRAP box round>
**Kongruenzsatz wsw**

Zwei Dreiecke, die in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind kongruent.

</WRAP>

{{ :profil:klasse8:geo08_wsw.png?direct&300 |}}


<WRAP box round>
**Kongruenzsatz sss**

Zwei Dreiecke, die in den drei Seiten übereinstimmen, sind kongruent.

</WRAP>

{{ :profil:klasse8:geo09_sss.png?direct&300 |}}


<WRAP box round>
**Kongruenzsatz Ssw**

Zwei Dreiecke, die in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüber liegenden Winkel übereinstimmen, sind kongruent.

</WRAP>

{{ :profil:klasse8:geo10_Ssw.png?direct&300 |}}


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**Seite-Winkel-Relation**

In jedem Dreieck liegt der größeren von zwei Seiten auch der größere Winkel gegenüber.

In jedem Dreieck liegt dem größeren von zwei Winkeln auch die größere Seite gegenüber.

</WRAP>


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<WRAP box round>
**Dreiecksungleichung**

In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seiten größer als die dritte Seite.

</WRAP>


{{ :profil:klasse8:geo12_dreiecksungleichung.png?direct&400 |}}


<WRAP box round>
**Basiswinkelsatz**

Die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck sind gleich groß.

</WRAP>

{{ :profil:klasse8:geo13_basiswinkelsatz.png?direct&400 |}}

====Weitere Sätze====


<WRAP box round>
**Innenwinkelsatz für Vierecke**

In jedem Viereck beträgt die Summe der Innenwinkel 360$^\circ$.

</WRAP>

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<WRAP box round>
**Satz über Gegenwinkel im Sehnenviereck**

In jedem Sehnenviereck beträgt die Summe der gegenüberliegenden Winkel jeweils 180$^\circ$ 


</WRAP>

{{ :profil:klasse8:geo15_sehnenviereck.png?direct&400 |}}


<WRAP box round>
**Peripheriewinkelsatz**

Peripheriewinkel über derselben Sehne eines Kreises sind gleich groß.

</WRAP>


{{ :profil:klasse8:geo16_periphriewinkelsatz.png?direct&400 |}}



<WRAP box round>
**Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz**

Jeder Zentriwinkel ist doppelt so groß wie jeder Peripheriewinkel über derselben Sehne.

</WRAP>

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<WRAP box round>
**Satz des Thales**

Jeder Peripheriewinkel über dem Durchmesser eines Kreises ist ein rechter Winkel.

</WRAP>

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**Aufgabe 7**

Berechne alle fehlenden Winkel, wenn gilt:

a) $\alpha = 27^\circ$, $\varepsilon = 130^\circ$
b) $\alpha + \beta = 170^\circ, \gamma + \delta = 40^\circ$

{{ :profil:klasse8:geo_au01.png?direct&400 |}}

**Aufgabe 8**

Ermittle jeweils die Größe des Winkels $\gamma$!

a)

{{ :profil:klasse8:geo_au02a.png?direct&400 |}}

b)

{{ :profil:klasse8:geo_au02b.png?direct&400 |}}


**Aufgabe 9**

Ermittle die gesuchten Winkelmaße durch Rechnung!

Welche geometrischen Sätze hasst du angewendet?

{{ :profil:klasse8:geo_au04.png?direct&400 |}}


**Aufgabe 10**

Das Dreieck ABC hat die Winkel $\alpha=58^\circ$ und $\beta=42^\circ$.

Die Gerade g schneidet die Seite $\overline{\text{AB}}$ unter dem Winkel $\delta=110^\circ$.

Berechne den Winkel $\varepsilon$, den g mit $\overline{\text{CB}}$ bildet.

{{ :profil:klasse8:geo_au05.png?direct&400 |}}


**Aufgabe 11**

Gegeben sind die Winkel $\alpha=24^\circ$ und $\varepsilon=115^\circ$.

Berechne die Größen der Übrigen Außen- und Innenwinkel!


{{ :profil:klasse8:geo_au07.png?direct&400 |}}


**Aufgabe 12**

Berechne jeweils die fehlenden Winkel des Sehnenvierecks!

  - $\alpha = 65^\circ, \delta=17^\circ$
  - $\beta = 83^\circ, \gamma=58^\circ$
  - $\alpha = 2\gamma, \delta=3\beta$
  - $\beta = 5\delta, \alpha=3\gamma$
  - $\alpha = 3\beta, \gamma=\alpha$
  - $\alpha = 4\beta, \beta=2\gamma$

{{ :profil:klasse8:geo_sehnenviereck.png?direct&400 |}}


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=====Beweisen mathematischer Sätze=====

{{youtube>eyTeUUrD-vc}}

\\

{{youtube>6ymTZEeTjI8}}

\\

{{youtube>hD5PEymq9aQ}}

\\

https://www.arte.tv/de/videos/RC-021426/mathewelten/

\\
\\

====Wenn-dann-Form und Umkehrung eines Satzes====

Ein Satz besteht immer aus einer Voraussetzung und einer Behauptung. Um Voraussetzung und Behauptung deutlich hervorzuheben, kann man den Satz in der Wenn-dann-Form schreiben.

**Beispiel 1**

Scheitelwinkel sind gleich groß.

**Wenn-dann-Form:** //Wenn// zwei Winkel Scheitelwinkel sind, //dann// sind sie gleich groß.

Es gibt auch Sätze die mehrere Voraussetzungen haben. Beide Voraussetzungen stehen dann hinter dem wenn. 

**Beispiel 2**

Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.

**Wenn-dann-Form:** Wenn zwei Winkel //V1// (Wechselwinkel) //V2// (an geschnittenen Parallelen) sind, dann sind sie gleich groß.


Wenn man bei einem Satz Voraussetzung und Behauptung vertauscht, entsteht die **Umkehrung des Satzes**. Die Umkehrung eines Satzes muss nicht unbedingt wieder eine wahre Aussage (also ein Satz) sein. Bei einem Satz mit mehreren Voraussetzungen gibt es mehrere Umkehrungen.

**Umkehrung von Beispiel 1**

//Wenn// zwei Winkel gleich groß sind, //dann// sind sie Scheitelwinkel. → falsche Aussage

**Umkehrung 1 von Beispiel 2**

//Wenn// zwei Winkel an geschnittenen Parallelen gleich groß sind, //dann// sind es Wechselwinkel. → falsche Aussage

**Umkehrung 2 von Beispiel 2**

//Wenn// Wechselwinkel gleich groß sind, //dann// liegen Sie an geschnittenen Parallelen. → wahre Aussage

**Aufgabe 13**

Bilde die Umkehrung der folgenden Sätze und entscheide jeweils, ob die Umkehrung wahr ist!

  * Nebenwinkelsatz
  * Innenwinkelsatz für Dreiecke
  * Außenwinkelsatz für Dreiecke
  * Basiswinkelsatz

Bilde beide Umkehrungen des Stufenwinkelsatzes und entscheide, ob sie wahr oder falsch sind!


====Beispiele für Beweise====

Bevor eine wahre Aussage in der Mathematik als Satz zählt, muss sie bewiesen werden. Zum Beweisen dürfen Axiome (als wahr angenommene grundlegende Aussagen), bereits bewiesene Sätze und Regeln der Logik verwendet werden.


**Beispiel: Beweis des Innenwinkelsatzes für Dreiecke**

Wenn $\alpha, \beta$ und $\gamma$ Innenwinkel in einem Dreieck sind, dann gilt $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

**//Voraussetzung://**

$\alpha, \beta$ und $\gamma$ sind Innenwinkel in einem Dreieck.

**//Behauptung://**

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

**//Beweis://**

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^ Beweisschritt ^ Begründung |
|(1) $\alpha = \alpha'$|Wechselwinkelsatz |
|(2) $\beta = \beta'$|Wechselwinkelsatz |
|(3) $\alpha' + \beta' + \gamma = 180^\circ$|gestreckter Winkel|
|Aus (1), (2) und (3) $\rightarrow$ $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$|logische Regeln|

w.z.b.w. oder qed.

**Aufgabe 14**

Beweise die folgenden Sätze!

  * Wechselwinkelsatz (Hinweis: Stufen- und Scheitelwinkelsatz dürfen verwendet werden)  
  * Außenwinkelsatz für Dreiecke
  * Innenwinkelsatz für Vierecke

====Sätze entdecken und beweisen====

**Aufgabe 15**

Es sei ABC ein gleichschenkliges Dreieck mit $\overline{\text{AC}}=\overline{\text{BC}}$ , auf dessen Basis $\overline{\text{AB}}$ zwei Punkte D und E (in der Reihenfolge A, D, E, B) so liegen, dass $\angle \text{ACD}= \angle \text{ECB}$ gilt. Verändere die Figur. Welche Vermutung lässt sich über die Winkel $\angle \text{EDC}$ und $\angle \text{CED}$ treffen? Beweise die Vermutung!

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**Aufgabe 16**

Für ein Trapez ABCD gelte $\overline{\text{AB}} \vert \vert \overline{\text{CD}}$ und $\overline{\text{AD}} = \overline{\text{DC}} = \overline{\text{CB}}$. Was lässt sich unter diesen Voraussetzungen über die Winkel $\angle \text{BAC}$ und $\angle \text{CAD}$ aussagen? Beweise deine Vermutung!


{{ :profil:klasse8:geo_au09.png?direct&400 |}}

**Aufgabe 17**

Gegeben Sei ein gleichseitiges Dreieck ABC. Auf der Verlängerung von $\overline{\text{AB}}$ über B  hinaus liegt ein Punkt D so, dass $\overline{\text{AB}}=\overline{\text{BD}}$ gilt. Was lässt sich dann über den Winkel $\angle \text{ACD}$ aussagen? Triff eine Vermutung und beweise sie!

{{ :profil:klasse8:geo_au10.png?direct&400 |}}


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