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--- neuerlehrplan:gk:zahlsysteme [2026/03/02 17:39] – [Hexadezimalsystem] lutz
+++ neuerlehrplan:gk:zahlsysteme [2026/03/02 17:45] (aktuell) – [1.1.1 Zahlsysteme und Zeichencodierung] lutz
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-====== 1.1.1 Zahlsysteme und Zeichenkodierung ======
+====== 1.1.1 Zahlsysteme ======
 ===== Dualsysstem =====
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 ===== Umwandeln von Zahlen beliebiger Stellenwertsysteme ins Dezimalsystem und umgekehrt =====
+Das Dualsystem und das Hexadezimalsystem spielen in der Informatik eine besondere Rolle. Man kann sich aber auch weitere Stellenwertsystem überlegen. Z.B hatten die Maya ein Zahlsystem auf der Basis 20. Für das Umwandeln von beliebigen Stellenwertsystemen ins Zehnersystem und umgekehrt kann man nun die bereits vom Dual- und Hexadezimalsystem bekannten Algorithmen verallgemeinern.
+**Beispiel 10**
+Die Zahl $(154)_6$ ist eine Zahl im 6er-System (Hexasystem) mit der Basis 6 und den Ziffern $\mathcal{A}=\lbrace\text{0,1,2,3,4,5}\rbrace$. Um die Zahl ins Dezimalsystem umzuwandeln multipliziert man einfach die Ziffern mit den jeweiligen Potenzen und bildet die Summe:
+$$(154)_6 = 1 \cdot 6^2 + 5 \cdot 6^1 + 4 \cdot 6^0 = 70$$
+Verallgemeinert wird dieser Algorithmus durch die Definition eines Stellenwertsystems (siehe oben):
+<WRAP center round info 60%>
+Gegeben sei ein **Stellenwertsystem** mit der Basis R und der Menge seiner Ziffern d. Eine natürliche Zahl N (im Dezimalsystem) wird durch folgende Summe dargestellt: $$(d_n ... d_1d_0)_R = d_n \cdot R^n + ... + d_1 \cdot R^1 + d_0 \cdot R^0=N$$
+</WRAP>
+**Beispiel 11**
+Schauen wir uns nun die Umkehrung an. Um die Zahl 6 ins 6er- (Hex-) System umzuwandeln,
+dividieren wir die Zahl fortgesetzt durch die Basis 6. Die Reste von unten nach oben gelesen ergeben die gesuchte Zahl im  6er- (Hex-) System.
+$$
+\begin{array}{rcll}
+: 6&=&11 & \text{Rest } 4 \\
+: 6&=&1 & \text{Rest } 5 \\
+: 6&=&0 & \text{Rest } 1 \\
+\end{array}
+$$
+$\rightarrow$ $(154)_6$
+<WRAP center round info 60%>
+Gegeben sei ein **Stellenwertsystem** mit der Basis R und der Menge seiner Ziffern d. Eine natürliche Zahl N (im Dezimalsystem) kann man auf folgende Weise in das gegebene Stellenwertsystem umwandeln:
+. Dividiere N durch die Basis R
+. Nummerierter ListenpunktMache das Ergebnis zum neuen N und wiederhole Schritt 1 solange N ungleich 0 ist.
+. Nummerierter ListenpunktDie sich ergebenden Reste "von unten nach oben gelesen" ergeben die gesuchte Zahl im entsprechenden Stellenwertsystem.
+</WRAP>