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--- neuerlehrplan:gk:zahlsysteme [2026/03/02 17:24] – angelegt lutz
+++ neuerlehrplan:gk:zahlsysteme [2026/03/02 17:45] (aktuell) – [1.1.1 Zahlsysteme und Zeichencodierung] lutz
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-====== 1.1.1 Zahlsysteme und Zeichenkodierung ======
+====== 1.1.1 Zahlsysteme ======
 ===== Dualsysstem =====
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 Genau wie das Dezimalsystem ist das Dualsystem ein Stellenwertsystem. Im Unterschied zum Dezimalsystem, arbeitet es nicht mit Zehnerpotenzen, sondern mit Zweierpotenzen.
+**Beispiel 1**
+Darstellung der Dezimalzahl $(3045)_{10}$ in der Stellentafel:
+| $10^4=10000$ | $10^3=1000$ | $10^2=100$ | $10^1=10$ | $10^0=1$ |
+| $0$          | $3$         | $0$        | $4$       | $5$      |
+**Beispiel 2**
+Darstellung der Binärzahl $(10010011)_2$ in der Stellentafel:
+| $2^7=128$ | $2^6=64$ | $2^5=32$ | $2^4=16$ | $2^3=8$ | $2^2=4$ | $2^1=2$ | $2^0=1$ |
+| $1$       | $0$      | $0$      | $1$      | $0$     | $0$     | $1$     | $1$     |
+Allgemein kann man ein Stellenwertsystem wie folgt definieren:
+<WRAP center round info 60%>
+Ein **Stellenwertsystem** wird definiert durch die Basis R und die Menge seiner Ziffern d. Eine natürliche Zahl N wird durch folgende Summe dargestellt: $$N = d_n \cdot R^n + ... + d_1 \cdot R^1 + d_0 \cdot R^0$$
+</WRAP>
+Entsprechend der obigen Beispiele kann man die Zahlen nun wie folgt schreiben:
+**Beispiel 1:** $(3045)_2=3 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$
+**Beispiel 2:** $(10010011)_2 = 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 +1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$
+==== Umrechnen zwischen Dezimal- und Dualzahlen ====
+=== Umwandeln von Dualzahlen in Dezimalzahlen ===
+Um eine Binärzahl ins Dezimalsystem umzurechnen, trägt man sie einfach in eine Stellentafel ein und addiert die Zweierpotenzen, bei denen in der Stellentafel eine 1 steht.
+**Beispiel 3**
+(Zahl aus Beispiel 2)
+ $(10010011)_2 = 128 + 16 + 2 + 1 = 147$
+=== Umwandeln von Dezimalzahlen in Dualzahlen ===
+Um eine Dezimalzahl ins Binärsystem umzurechnen, zerlegt man sie zunächst in eine Summe aus Zweierpotenzen:
+$156 = 128 + 16 + 8 + 4$
+Nun trägt man bei allen auftretenden Zweierpotenzen in die Stellentafel eine 1 ein, ansonsten trägt man Nullen ein:
+| $2^7=128$ | $2^6=64$ | $2^5=32$ | $2^4=16$ | $2^3=8$ | $2^2=4$ | $2^1=2$ | $2^0=1$ |
+| $1$       | $0$      | $0$      | $1$      | $1$     | $1$     | $0$     | $0$     |
+Nun kann man die Zahl einfach aus der Stellentafel ablesen, wobei man führende Nullen weglassen kann:
+$\rightarrow (10011100)_2$
+{{youtube>kP8c8fii2OY}}
+\\
+\\
+**Beispiel 5**
+Eine weitere Möglichkeit um Dezimalzahlen in Dualzahlen umzurechnen ist die fortgesetzte Division mit Rest, bis sich 0 ergibt:
+$$
+\begin{array}{rcll}
+: 2&=&78 & \text{Rest } 0 \\
+: 2&=&39 & \text{Rest } 0 \\
+: 2&=&19 & \text{Rest } 1 \\
+: 2&=&9 & \text{Rest } 1 \\
+: 2&=&4 & \text{Rest } 1 \\
+: 2&=&2 & \text{Rest } 0 \\
+: 2&=&1 & \text{Rest } 0 \\
+: 2&=&0 & \text{Rest } 1 \\
+\end{array}
+$$
+Die Reste ergeben nun von unten nach oben gelesen die gesuchte Dualzahl:
+$\rightarrow (10011100)_2$
+===== Hexadezimalsystem =====
+Dualzahlen sind wesentlich länger als ihre dezimalen Entsprechungen. Deshalb benutzt man in der technischen Informatik noch das Hexadezimalsystem, ein Zahlsystem auf der Basis 16. Der Vorteil des Hexadezimalsystems ist, dass sich hexadezimale Zahlen besonders einfach in Dualzahlen umrechnen lassen und umgekehrt, weil eine hexadezimale Ziffer einer vierstelligen Dualzahl entspricht.
+Das Alphabet des Hexadezimalsystems besteht aus den Ziffern
+$$\mathcal{A}=\lbrace\text{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}\rbrace$$
+, wobei A der Dezimalzahl 10, B der Dezimalzahl 11, C der Dezimalzahl 12, D der Dezimalzahl 13, E der Dezimalzahl 14 und F der Dezimalzahl 15 entspricht.
+**Beispiel 6**
+Damit ergibt sich die folgende Stellentafel:
+| $16^2=256$ | $16^1=16$ | $16^0=1$ |
+| 2          | A         | 4        |
+Die dargestellte Zahl $(2A4)_{16}$ lässt sich nun wie folgt in eine Dezimalzahl umwandeln:
+$$(2A4)_{16} = 2 \cdot 16^2 + A \cdot 16^1 + 4 \cdot 16^0 = 2 \cdot 256 + 10 \cdot 16 + 4 \cdot 1 = 676$$
+**Beispiel 7**
+Um eine Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl umzuwandeln kann man analog zu den Dualzahlen vorgehen und eine fortgesetzte Division durch 16 durchführen. Dies soll am Beispiel der Zahl 741 durchgeführt werden:
+$$
+\begin{array}{rcll}
+: 16&=&46 & \text{Rest } 5 \\
+: 16&=&2 & \text{Rest } 14 \\
+: 16&=&0 & \text{Rest } 2 \\
+\end{array}
+$$
+Die entstehenden Reste von unten nach oben gelesen ergeben die gesuchte hexadezimale Zahl, wobei 14 der Ziffer E entspricht:
+$$(2E5)_{16}$$
+Video !!!
+Während das Umwandeln dezimaler Zahlen in hexadezimale Zahlen recht schwierig sein kann, kann man duale Zahlen recht einfach in hexadezimale Zahlen umwandeln. Dazu unterteilt man die Zahl von rechts beginnend in Viererblöcke, wobei man den linken Viererblock eventuell mit Nullen auffüllt, und wandelt jeden der Viererblöcke einzeln in eine Zahl von 0 bis 15 (0 bis F) um.
+**Beispiel 8**
+$$(1000111101)_2 = \underbrace{0010}_{2} \underbrace{0011}_{3} \underbrace{1101}_{13 = \text{D}} = (23\text{D})_{16}$$
+Umgekehrt funktioniert das genau so:
+**Beispiel 9**
+$$(\text{F}39)_{16}= \underbrace{\text{F}}_{1111} \underbrace{3}_{0011} \underbrace{9}_{1001} = (111100111001)_2$$
+Deshalb lohnt es sich, beim Umwandeln von Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen und umgekehrt den Umweg über die Dualzahlen zu gehen.
+Damit sind die wichtigsten Zahlsysteme der technischen Informatik vorgestellt. In den nächsten Abschnitten wird nun gezeigt, wie man sie zur Codierung von Zahlen und Zeichen im Computer verwendet.
+{{youtube>oDyW4K1fpfw}}
+===== Umwandeln von Zahlen beliebiger Stellenwertsysteme ins Dezimalsystem und umgekehrt =====
+Das Dualsystem und das Hexadezimalsystem spielen in der Informatik eine besondere Rolle. Man kann sich aber auch weitere Stellenwertsystem überlegen. Z.B hatten die Maya ein Zahlsystem auf der Basis 20. Für das Umwandeln von beliebigen Stellenwertsystemen ins Zehnersystem und umgekehrt kann man nun die bereits vom Dual- und Hexadezimalsystem bekannten Algorithmen verallgemeinern.
+**Beispiel 10**
+Die Zahl $(154)_6$ ist eine Zahl im 6er-System (Hexasystem) mit der Basis 6 und den Ziffern $\mathcal{A}=\lbrace\text{0,1,2,3,4,5}\rbrace$. Um die Zahl ins Dezimalsystem umzuwandeln multipliziert man einfach die Ziffern mit den jeweiligen Potenzen und bildet die Summe:
+$$(154)_6 = 1 \cdot 6^2 + 5 \cdot 6^1 + 4 \cdot 6^0 = 70$$
+Verallgemeinert wird dieser Algorithmus durch die Definition eines Stellenwertsystems (siehe oben):
+<WRAP center round info 60%>
+Gegeben sei ein **Stellenwertsystem** mit der Basis R und der Menge seiner Ziffern d. Eine natürliche Zahl N (im Dezimalsystem) wird durch folgende Summe dargestellt: $$(d_n ... d_1d_0)_R = d_n \cdot R^n + ... + d_1 \cdot R^1 + d_0 \cdot R^0=N$$
+</WRAP>
+**Beispiel 11**
+Schauen wir uns nun die Umkehrung an. Um die Zahl 6 ins 6er- (Hex-) System umzuwandeln,
+dividieren wir die Zahl fortgesetzt durch die Basis 6. Die Reste von unten nach oben gelesen ergeben die gesuchte Zahl im  6er- (Hex-) System.
+$$
+\begin{array}{rcll}
+: 6&=&11 & \text{Rest } 4 \\
+: 6&=&1 & \text{Rest } 5 \\
+: 6&=&0 & \text{Rest } 1 \\
+\end{array}
+$$
+$\rightarrow$ $(154)_6$
+<WRAP center round info 60%>
+Gegeben sei ein **Stellenwertsystem** mit der Basis R und der Menge seiner Ziffern d. Eine natürliche Zahl N (im Dezimalsystem) kann man auf folgende Weise in das gegebene Stellenwertsystem umwandeln:
+. Dividiere N durch die Basis R
+. Nummerierter ListenpunktMache das Ergebnis zum neuen N und wiederhole Schritt 1 solange N ungleich 0 ist.
+. Nummerierter ListenpunktDie sich ergebenden Reste "von unten nach oben gelesen" ergeben die gesuchte Zahl im entsprechenden Stellenwertsystem.
+</WRAP>