Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- neuerlehrplan:gk:zahlsysteme [2025/11/18 20:55] – [Rechnen mit Dualzahlen] lutz
+++ neuerlehrplan:gk:zahlsysteme [2025/11/18 21:05] (aktuell) – [Hexadezimalsystem] lutz
@@ Zeile 114: / Zeile 114: @@
 \begin{array}{rlr} \text{Einerkomplement: }&&10110111 \\ &+&1 \\ \text{Zweierkomplement: } &&\underline {\underline {10111000}} \end{array}$$
+=== Subtraktion von Dualzahlen ===
+**Beispiel 9**
+Die schriftliche Subtraktion von Dualzahlen funktioniert analog zur Subtraktion von Dezimalzahlen:
+$$
+\begin{array}{lr}
+&110100\\
+-&10011\\
+\hline
+&\underline {\underline {100001}}
+\end{array}
+$$
+**Beispiel 10**
+Man kann Dualzahlen aber auch subtrahieren, indem man indem man das Zweierkomplement des Subtrahend addiert. Die entstehende Zahl ist dann größer als die Wortbreite und die führende Eins fällt dann einfach weg.
+Einerkomplement von $00010011 \rightarrow 11101100$\\
+Zweierkomplement: $11101100 + 1 = 11101101$
+$$
+\begin{array}{lr}
+&110100\\
++&11101101\\
+\hline
+&\underline {\underline {(1)00100001}}
+\end{array}
+$$
+Auch wenn die Wortbreite größer ist, würden solange führende Nullen entstehen, bis die entsprechende Zweierpotenz ($2^{32}$ bzw. $2^{64}$) erreicht ist.
+===== Hexadezimalsystem =====
+Dualzahlen sind wesentlich länger als ihre dezimalen Entsprechungen. Deshalb benutzt man in der technischen Informatik noch das Hexadezimalsystem, ein Zahlsystem auf der Basis 16. Der Vorteil des Hexadezimalsystems ist, dass sich hexadezimale Zahlen besonders einfach in Dualzahlen umrechnen lassen und umgekehrt, weil eine hexadezimale Ziffer einer vierstelligen Dualzahl entspricht.
+Das Alphabet des Hexadezimalsystems besteht aus den Ziffern\\
+$$\mathcal{A}=\lbrace\text{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}\rbrace$$
+, wobei A der Dezimalzahl 10, B der Dezimalzahl 11, C der Dezimalzahl 12, D der Dezimalzahl 13, E der Dezimalzahl 14 und F der Dezimalzahl 15 entspricht.
+**Beispiel 11**
+Damit ergibt sich die folgende Stellentafel:
+^$16^2=256$^$16^1=16$^$16^0=1$|
+|2|A|4|
+Die dargestellte Zahl $(2A4)_{16}$ lässt sich nun wie folgt in eine Dezimalzahl umwandeln:
+$$(2A4)_{16} = 2 \cdot 16^2 + A \cdot 16^1 + 4 \cdot 16^0 = 2 \cdot 256 + 10 \cdot 16 + 4 \cdot 1 = 676$$
+**Beispiel 12**
+Um eine Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl umzuwandeln kann man analog zu den Dualzahlen vorgehen und eine fortgesetzte Division durch 16 durchführen. Dies soll am Beispiel der Zahl 741 durchgeführt werden:
+$$
+\begin{array}{rcll}
+: 16&=&46 & \text{Rest } 5 \\
+: 16&=&2 & \text{Rest } 14 \\
+: 16&=&0 & \text{Rest } 2 \\
+\end{array}
+$$
+Die entstehenden Reste von unten nach oben gelesen ergeben die gesuchte hexadezimale Zahl, wobei 14 der Ziffer E entspricht:
+$$(2E5)_{16}$$
+Während das Umwandeln dezimaler Zahlen in hexadezimale Zahlen recht schwierig sein kann, kann man duale Zahlen recht einfach in hexadezimale Zahlen umwandeln. Dazu unterteilt man die Zahl von rechts beginnend in Viererblöcke, wobei man den linken Viererblock eventuell mit Nullen auffüllt, und wandelt jeden der Viererblöcke einzeln in eine Zahl von 0 bis 15 (0 bis F) um.
+**Beispiel 13**
+$$(1000111101)_2 = \underbrace{0010}_{2} \underbrace{0011}_{3} \underbrace{1101}_{13 = \text{D}} = (23\text{D})_{16}$$
+Umgekehrt funktioniert das genau so:
+**Beispiel 14**
+$$(\text{F}39)_{16}= \underbrace{\text{F}}_{1111} \underbrace{3}_{0011} \underbrace{9}_{1001} = (111100111001)_2$$
+Deshalb lohnt es sich, beim Umwandeln von Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen und umgekehrt den Umweg über die Dualzahlen zu gehen.
+Damit sind die wichtigsten Zahlsysteme der technischen Informatik vorgestellt. In den nächsten Abschnitten wird nun gezeigt, wie man sie zur Codierung von Zahlen und Zeichen im Computer verwendet.