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--- neuerlehrplan:gk:zahlsysteme [2025/11/18 20:34] – [Hexadezimalsystem] lutz
+++ neuerlehrplan:gk:zahlsysteme [2025/11/18 21:05] (aktuell) – [Hexadezimalsystem] lutz
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 Darstellung der Dezimalzahl  in der Stellentafel:
-^^^^^^
+^$10^4=10000$^$10^3=1000$^$10^2=100$^$10^1=10$^$10^0=1$|
-||||||
+|$0$|$3$|$0$|$4$|$5$|
 **Beispiel 2**\\
 Darstellung der Binärzahl  in der Stellentafel:
-^^^^^^^^^
+^$2^7=128$^$2^6=64$^$2^5=32$^$2^4=16$^$2^3=8$^$2^2=4$^$2^1=2$^$2^0=1$|
-|||||||||
+|$1$|$0$|$0$|$1$|$0$|$0$|$1$|$1$|
 ==== Umwandeln von Dualzahlen in Dezimalzahlen und umgekehrt ====
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 (Zahl aus Beispiel 2)
+ $(10010011)_2 = 128 + 16 + 2 + 1 = 147$
 === Umwandeln von Dezimalzahlen in Dualzahlen ===
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 Um eine Dezimalzahl ins Binärsystem umzurechnen, zerlegt man sie zunächst in eine Summe aus Zweierpotenzen:
+$156 = 128 + 16 + 8 + 4$
 Nun trägt man bei allen auftretenden Zweierpotenzen in die Stellentafel eine 1 ein, ansonsten trägt man Nullen ein:
-^^^^^^^^^
+^$2^7=128$^$2^6=64$^$2^5=32$^$2^4=16$^$2^3=8$^$2^2=4$^$2^1=2$^$2^0=1$|
-|||||||||
+|$1$|$0$|$0$|$1$|$1$|$1$|$0$|$0$|
 Nun kann man die Zahl einfach aus der Stellentafel ablesen, wobei man führende Nullen weglassen kann:
+$\rightarrow (10011100)_2$
 **Beispiel 5**
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 Eine weitere Möglichkeit um Dezimalzahlen in Dualzahlen umzurechnen ist die fortgesetzte Division mit Rest, bis sich 0 ergibt:
+$$
+\begin{array}{rcll}
-Die Reste ergeben nun von unten nach oben gelesen die gesuchte Dualzahl:
+ : 2&=&78 & \text{Rest } 0 \\
+: 2&=&39 & \text{Rest } 0 \\
+: 2&=&19 & \text{Rest } 1 \\
+: 2&=&9 & \text{Rest } 1 \\
+: 2&=&4 & \text{Rest } 1 \\
+: 2&=&2 & \text{Rest } 0 \\
+: 2&=&1 & \text{Rest } 0 \\
+: 2&=&0 & \text{Rest } 1 \\
+\end{array}
+$$
 ==== Rechnen mit Dualzahlen ====
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 **Beispiel 6**
+$6 + 5 = (110)_2 + (101)_2 = (1011)_2 =11$
+$$
+\begin{array}{lr}
+&110\\
++&101\\
+\hline
+&\underline {\underline {1011}} \\
+\end{array}
+$$
 **Beispiel 7**
+$27 + 34 = (11011)_2 + (100010)_2 = (111101)_2 =61$
+$$
+\begin{array}{lr}
+&11011\\
++&100010\\
+\hline
+&\underline {\underline {111101}}
+\end{array}
+$$
 === Komplement ===
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 **Beispiel 8**\\
-Gegeben ist die Dualzahl . Um das Zweierkomplement bei einer Wortbreite von 8 Bit zu bilden, führen wird die folgenden drei Schritte durch:
+Gegeben ist die Dualzahl $(1001000)_2 = 80$. Um das Zweierkomplement bei einer Wortbreite von 8 Bit zu bilden, führen wird die folgenden drei Schritte durch:
-<HTML><ol></HTML>
+  - Ergänzen der Zahl durch führende Nullen auf 8 Stellen: $$01001000$$
-<HTML><li></HTML>Ergänzen der Zahl durch führende Nullen auf 8 Stellen: <HTML></li></HTML>
+  - Das Einerkomplement bildet man, indem man alle Stellen der Zahl umkehrt, d.h. aus einer 0 wird eine 1 und aus einer 1 wird eine 0:$$\begin{array}{lr}\text{Zahl:  } & 01001000 \\ \text{Einerkomplement:  }&10110111 \\ \end{array}$$
-<HTML><li></HTML>Das Einerkomplement bildet man, indem man alle Stellen der Zahl umkehrt, d.h. aus einer 0 wird eine 1 und aus einer 1 wird eine 0: <HTML></li></HTML>
+  - Zum Einerkomplement addiert man nun noch die Zahl 1 um das Zweierkomplement zu erhalten: $$
-<HTML><li></HTML>Zum Einerkomplement addiert man nun noch die Zahl 1 um das Zweierkomplement zu erhalten: $$\\
+\begin{array}{rlr} \text{Einerkomplement: }&&10110111 \\ &+&1 \\ \text{Zweierkomplement: } &&\underline {\underline {10111000}} \end{array}$$
-\begin{array}{rlr}\\
-\text{Einerkomplement: }&&10110111\\\
+=== Subtraktion von Dualzahlen ===
-&+&1\\\
-\text{Zweierkomplement: } &&\underline {\underline {10111000}}\\
+**Beispiel 9**
+Die schriftliche Subtraktion von Dualzahlen funktioniert analog zur Subtraktion von Dezimalzahlen:
+$$
+\begin{array}{lr}
+&110100\\
+-&10011\\
+\hline
+&\underline {\underline {100001}}
 \end{array}
-üß
+$$
-\begin{array}{lr}\\
+**Beispiel 10**
-&1001000\\\
-+&10111000\\\
+Man kann Dualzahlen aber auch subtrahieren, indem man indem man das Zweierkomplement des Subtrahend addiert. Die entstehende Zahl ist dann größer als die Wortbreite und die führende Eins fällt dann einfach weg.
-\hline\\
-&\underline {\underline {100000000}}\\
+Einerkomplement von $00010011 \rightarrow 11101100$\\
+Zweierkomplement: $11101100 + 1 = 11101101$
+$$
+\begin{array}{lr}
+&110100\\
++&11101101\\
+\hline
+&\underline {\underline {(1)00100001}}
 \end{array}
+$$
-<HTML></li></HTML><HTML></ol></HTML>
+Auch wenn die Wortbreite größer ist, würden solange führende Nullen entstehen, bis die entsprechende Zweierpotenz ($2^{32}$ bzw. $2^{64}$) erreicht ist.
-=== Subtraktion von Dualzahlen ===
+===== Hexadezimalsystem =====
-**Beispiel 9**
+Dualzahlen sind wesentlich länger als ihre dezimalen Entsprechungen. Deshalb benutzt man in der technischen Informatik noch das Hexadezimalsystem, ein Zahlsystem auf der Basis 16. Der Vorteil des Hexadezimalsystems ist, dass sich hexadezimale Zahlen besonders einfach in Dualzahlen umrechnen lassen und umgekehrt, weil eine hexadezimale Ziffer einer vierstelligen Dualzahl entspricht.
-Die schriftliche Subtraktion von Dualzahlen funktioniert analog zur Subtraktion von Dezimalzahlen:
+Das Alphabet des Hexadezimalsystems besteht aus den Ziffern\\
+$$\mathcal{A}=\lbrace\text{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}\rbrace$$
+, wobei A der Dezimalzahl 10, B der Dezimalzahl 11, C der Dezimalzahl 12, D der Dezimalzahl 13, E der Dezimalzahl 14 und F der Dezimalzahl 15 entspricht.
-**Beispiel 10**
+**Beispiel 11**
-Man kann Dualzahlen aber auch subtrahieren, indem man indem man das Zweierkomplement des Subtrahend addiert. Die entstehende Zahl ist dann größer als die Wortbreite und die führende Eins fällt dann einfach weg.
+Damit ergibt sich die folgende Stellentafel:
+^$16^2=256$^$16^1=16$^$16^0=1$|
+|2|A|4|
+Die dargestellte Zahl $(2A4)_{16}$ lässt sich nun wie folgt in eine Dezimalzahl umwandeln:
+$$(2A4)_{16} = 2 \cdot 16^2 + A \cdot 16^1 + 4 \cdot 16^0 = 2 \cdot 256 + 10 \cdot 16 + 4 \cdot 1 = 676$$
+**Beispiel 12**
+Um eine Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl umzuwandeln kann man analog zu den Dualzahlen vorgehen und eine fortgesetzte Division durch 16 durchführen. Dies soll am Beispiel der Zahl 741 durchgeführt werden:
+$$
+\begin{array}{rcll}
+: 16&=&46 & \text{Rest } 5 \\
+: 16&=&2 & \text{Rest } 14 \\
+: 16&=&0 & \text{Rest } 2 \\
+\end{array}
+$$
+Die entstehenden Reste von unten nach oben gelesen ergeben die gesuchte hexadezimale Zahl, wobei 14 der Ziffer E entspricht:
+$$(2E5)_{16}$$
+Während das Umwandeln dezimaler Zahlen in hexadezimale Zahlen recht schwierig sein kann, kann man duale Zahlen recht einfach in hexadezimale Zahlen umwandeln. Dazu unterteilt man die Zahl von rechts beginnend in Viererblöcke, wobei man den linken Viererblock eventuell mit Nullen auffüllt, und wandelt jeden der Viererblöcke einzeln in eine Zahl von 0 bis 15 (0 bis F) um.
+**Beispiel 13**
-Einerkomplement von \\
+$$(1000111101)_2 = \underbrace{0010}_{2} \underbrace{0011}_{3} \underbrace{1101}_{13 = \text{D}} = (23\text{D})_{16}$$
-Zweierkomplement:
+Umgekehrt funktioniert das genau so:
+**Beispiel 14**
-Auch wenn die Wortbreite größer ist, würden solange führende Nullen entstehen, bis die entsprechende Zweierpotenz ( bzw. ) erreicht ist.
+$$(\text{F}39)_{16}= \underbrace{\text{F}}_{1111} \underbrace{3}_{0011} \underbrace{9}_{1001} = (111100111001)_2$$
+Deshalb lohnt es sich, beim Umwandeln von Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen und umgekehrt den Umweg über die Dualzahlen zu gehen.
+Damit sind die wichtigsten Zahlsysteme der technischen Informatik vorgestellt. In den nächsten Abschnitten wird nun gezeigt, wie man sie zur Codierung von Zahlen und Zeichen im Computer verwendet.