Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- neuerlehrplan:gk:boolschealgebra [2026/05/13 12:20] – [Logische Funktionem] lutz
+++ neuerlehrplan:gk:boolschealgebra [2026/05/13 12:49] (aktuell) – [Disjunktive Normalform] lutz
@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 ======1.1.4 Boolsche Algebra======
-{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/George_Boole_color.jpg/250px-George_Boole_color.jpg?direct&300 |}}
 (([[https://de.wikipedia.org/wiki/George_Boole | Wikipedia]]))
 **George Boole**
+{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/George_Boole_color.jpg/250px-George_Boole_color.jpg?direct&300 |}}
+----
 **Mathematische Logik** (speziell die Aussagenlogik) spielt auch in der Informatik, speziell bei der bei der Konstruktion von Mikroprozessoren , eine große Rolle. Hier spricht man von **Schaltalgebra.**
+----
 Insgesamt hat sich dafür der Begriff **Boolsche Algebra** (benannt nach [[https://de.wikipedia.org/wiki/George_Boole | George Boole]]) eingebürgert.
+----
 In der Mathematik ist eine Aussage ein sprachliches Gebilde, von dem man entscheiden kann, ob es **wahr** oder **falsch** ist. In der Informatik betrachtet man nur Variablen, die die Werte 1 (für wahr) und 0 (für falsch) annehmen können. In einer konkreten Schaltung sind das Kontakte, an denen Spannung anliegt (1) oder keine Spannung anliegt (0).
@@ Zeile 18: / Zeile 30: @@
 Über diese Variablen/Aussagen kann man nun logische Funktionen definieren. In der Mathematik würde man von der Verknüpfung von Aussagen sprechen.
+----
 <WRAP center round info 60%>
@@ Zeile 24: / Zeile 39: @@
 Schreibweise: $\overline{A}$
 </WRAP>
+**Beispiel:**
+$A:$ Informatik ist cool.
+$\overline A:$ Informatik ist nicht cool.
+----
+*
+**Wahrheitstabelle:**
+^ $A$ ^ $\overline{A}$ |
+| 0   | 1              |
+| 1   | 0              |
+----
+<WRAP center round info 60%>
+Die **Konjunktion (AND)** der Aussage $A$ und $B$ ist genau wahr, wenn $A$ und $B$ wahr sind.
+Schreibweise: $A \wedge B$
+</WRAP>
+**Beispiel:**
+$A:$ Heute ist es warm.
+$B:$ Heute ist schönes Wetter.
+$A \wedge B:$  Heute ist es warm und es ist schönes Wetter.
+----
+**Wahrheitstabelle:**
+^ $A$ ^ $B$ ^ $A \wedge B$ |
+| 0   | 0   | 0            |
+| 0   | 1   | 0            |
+| 1   | 0   | 0            |
+| 1   | 1   | 1            |
+----
+<WRAP center round info 60%>
+Die **Disjunktion (OR)** der Aussagen $A$ und $B$ ist genau wahr, wenn $A$ oder $B$ wahr oder beide wahr sind.
+Schreibweise: $A \vee B$
+</WRAP>
+----
+**Beispiel:**
+$A:$ Heute ist es warm.
+$B:$ Heute ist schönes Wetter.
+$A \vee B:$  Heute ist es warm oder es ist schönes Wetter.
+----
+**Wahrheitstabelle:**
+^ $A$ ^ $B$ ^ $A \vee B$ |
+| 0   | 0   | 0          |
+| 0   | 1   | 1          |
+| 1   | 0   | 1          |
+| 1   | 1   | 1          |
+----
+=====Erstellen einer Wahrheitstabelle=====
+Wahrheitstabellen lassen sich auch für zusammengesetzte Aussagen erstellen, z.B. $\overline{A \wedge \overline{B}}$  :
+^ $A$ ^ $B$ ^ $\overline{B}$ ^ $A \wedge \overline{B}$ ^ $\overline{A \wedge \overline{B}}$ |
+| 0   | 0   | 1              | 0                       | 1                                  |
+| 0   | 1   | 0              | 0                       | 1                                  |
+| 1   | 0   | 1              | 1                       | 0                                  |
+| 1   | 1   | 0              | 0                       | 1                                  |
+----
+=====Disjunktive Normalform=====
+Mit Hilfe der **Disjunktiven Normalform** lässt sich aus einer Wahrheitstabelle der entsprechende logische Ausdruck rekonstruieren. Dabei wird jede Zeile der Wahrheitstabelle mit dem Ergebnis 1 als **AND**-Verknüpfung notiert. Anschließend werden diese **AND**-Verknüpfungen mit **OR** verbunden.
+----
+^ $A$ ^ $B$ ^ $X$ |                    |
+| 0   | 0   | 0   |                    |
+| 0   | 1   | 1   | $\bar{A} \wedge B$ |
+| 1   | 0   | 0   |                    |
+| 1   | 1   | 1   | $A \wedge B$       |
+$X = (\bar A \wedge B) \vee (A \wedge B)$