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neuerlehrplan:gk:boolschealgebra

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neuerlehrplan:gk:boolschealgebra [2026/05/13 12:13] – lutzneuerlehrplan:gk:boolschealgebra [2026/05/13 12:49] (aktuell) – [Disjunktive Normalform] lutz
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 ======1.1.4 Boolsche Algebra====== ======1.1.4 Boolsche Algebra======
  
-{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/George_Boole_color.jpg/250px-George_Boole_color.jpg?direct&300 |}} 
  
-**George Boole** 
  
 (([[https://de.wikipedia.org/wiki/George_Boole | Wikipedia]])) (([[https://de.wikipedia.org/wiki/George_Boole | Wikipedia]]))
 +
 +**George Boole**
 +
 +{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/George_Boole_color.jpg/250px-George_Boole_color.jpg?direct&300 |}}
 +
 +----
 +
 +**Mathematische Logik** (speziell die Aussagenlogik) spielt auch in der Informatik, speziell bei der bei der Konstruktion von Mikroprozessoren , eine große Rolle. Hier spricht man von **Schaltalgebra.** 
 +
 +
 +----
 +
 +
 +Insgesamt hat sich dafür der Begriff **Boolsche Algebra** (benannt nach [[https://de.wikipedia.org/wiki/George_Boole | George Boole]]) eingebürgert.
 +
 +
 +----
 +
 +
 +In der Mathematik ist eine Aussage ein sprachliches Gebilde, von dem man entscheiden kann, ob es **wahr** oder **falsch** ist. In der Informatik betrachtet man nur Variablen, die die Werte 1 (für wahr) und 0 (für falsch) annehmen können. In einer konkreten Schaltung sind das Kontakte, an denen Spannung anliegt (1) oder keine Spannung anliegt (0).
 +Diese Aussagen/Variablen werden durch große Buchstaben A, B, C ... repräsentiert.
 +
 +
 +=====Logische Funktionen=====
 +
 +Über diese Variablen/Aussagen kann man nun logische Funktionen definieren. In der Mathematik würde man von der Verknüpfung von Aussagen sprechen.
 +
 +----
 +
 +
 +<WRAP center round info 60%>
 +Die **Negation (NOT)** einer Aussage $A$ ist genau wahr, wenn $A$ nicht wahr ist.
 +
 +Schreibweise: $\overline{A}$
 +</WRAP>
 +
 +**Beispiel:**
 +
 +$A:$ Informatik ist cool.
 +
 +$\overline A:$ Informatik ist nicht cool.
 +
 +
 +----
 +
 +*
 +**Wahrheitstabelle:**
 +
 +^ $A$ ^ $\overline{A}$ |
 +| 0   | 1              |
 +| 1   | 0              |
 +
 +
 +----
 +
 +
 +<WRAP center round info 60%>
 +Die **Konjunktion (AND)** der Aussage $A$ und $B$ ist genau wahr, wenn $A$ und $B$ wahr sind.
 +
 +Schreibweise: $A \wedge B$ 
 +</WRAP>
 +
 +**Beispiel:**
 +
 +$A:$ Heute ist es warm.
 +
 +$B:$ Heute ist schönes Wetter.
 +
 +$A \wedge B:$  Heute ist es warm und es ist schönes Wetter.
 +
 +----
 +
 +
 +**Wahrheitstabelle:**
 +
 +^ $A$ ^ $B$ ^ $A \wedge B$ |
 +| 0   | 0   | 0            |
 +| 0   | 1   | 0            |
 +| 1   | 0   | 0            |
 +| 1   | 1   | 1            |
 +
 +----
 +
 +<WRAP center round info 60%>
 +Die **Disjunktion (OR)** der Aussagen $A$ und $B$ ist genau wahr, wenn $A$ oder $B$ wahr oder beide wahr sind.
 +
 +Schreibweise: $A \vee B$ 
 +</WRAP>
 +
 +----
 +
 +**Beispiel:**
 +
 +$A:$ Heute ist es warm.
 +
 +$B:$ Heute ist schönes Wetter.
 +
 +$A \vee B:$  Heute ist es warm oder es ist schönes Wetter.
 +
 +----
 +
 +**Wahrheitstabelle:**
 +
 +^ $A$ ^ $B$ ^ $A \vee B$ |
 +| 0   | 0   | 0          |
 +| 0   | 1   | 1          |
 +| 1   | 0   | 1          |
 +| 1   | 1   | 1          |
 +
 +----
 +
 +=====Erstellen einer Wahrheitstabelle=====
 +
 +Wahrheitstabellen lassen sich auch für zusammengesetzte Aussagen erstellen, z.B. $\overline{A \wedge \overline{B}}$  :
 +
 +^ $A$ ^ $B$ ^ $\overline{B}$ ^ $A \wedge \overline{B}$ ^ $\overline{A \wedge \overline{B}}$ |
 +| 0   | 0   | 1              | 0                       | 1                                  |
 +| 0   | 1   | 0              | 0                       | 1                                  |
 +| 1   | 0   | 1              | 1                       | 0                                  |
 +| 1   | 1   | 0              | 0                       | 1                                  |
 +
 +
 +----
 +
 +=====Disjunktive Normalform=====
 +
 +Mit Hilfe der **Disjunktiven Normalform** lässt sich aus einer Wahrheitstabelle der entsprechende logische Ausdruck rekonstruieren. Dabei wird jede Zeile der Wahrheitstabelle mit dem Ergebnis 1 als **AND**-Verknüpfung notiert. Anschließend werden diese **AND**-Verknüpfungen mit **OR** verbunden.
 +
 +----
 +
 +
 +^ $A$ ^ $B$ ^ $X$ |                    |
 +| 0   | 0   | 0   |                    |
 +| 0   | 1   | 1   | $\bar{A} \wedge B$ |
 +| 1   | 0   | 0   |                    |
 +| 1   | 1   | 1   | $A \wedge B$       |
 +
 +
 +
 +$X = (\bar A \wedge B) \vee (A \wedge B)$
 +
 +
 +
 +
neuerlehrplan/gk/boolschealgebra.1778667232.txt.gz · Zuletzt geändert: von lutz