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neuerlehrplan:gk:boolschealgebra

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neuerlehrplan:gk:boolschealgebra [2026/05/13 12:11] – lutzneuerlehrplan:gk:boolschealgebra [2026/05/13 12:49] (aktuell) – [Disjunktive Normalform] lutz
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 ======1.1.4 Boolsche Algebra====== ======1.1.4 Boolsche Algebra======
  
-{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/George_Boole_color.jpg/250px-George_Boole_color.jpg?direct&600 |}}+ 
 + 
 +(([[https://de.wikipedia.org/wiki/George_Boole | Wikipedia]])) 
 + 
 +**George Boole** 
 + 
 +{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/George_Boole_color.jpg/250px-George_Boole_color.jpg?direct&300 |}} 
 + 
 +---- 
 + 
 +**Mathematische Logik** (speziell die Aussagenlogik) spielt auch in der Informatik, speziell bei der bei der Konstruktion von Mikroprozessoren , eine große Rolle. Hier spricht man von **Schaltalgebra.**  
 + 
 + 
 +---- 
 + 
 + 
 +Insgesamt hat sich dafür der Begriff **Boolsche Algebra** (benannt nach [[https://de.wikipedia.org/wiki/George_Boole | George Boole]]) eingebürgert. 
 + 
 + 
 +---- 
 + 
 + 
 +In der Mathematik ist eine Aussage ein sprachliches Gebilde, von dem man entscheiden kann, ob es **wahr** oder **falsch** ist. In der Informatik betrachtet man nur Variablen, die die Werte 1 (für wahr) und 0 (für falsch) annehmen können. In einer konkreten Schaltung sind das Kontakte, an denen Spannung anliegt (1) oder keine Spannung anliegt (0). 
 +Diese Aussagen/Variablen werden durch große Buchstaben A, B, C ... repräsentiert. 
 + 
 + 
 +=====Logische Funktionen===== 
 + 
 +Über diese Variablen/Aussagen kann man nun logische Funktionen definieren. In der Mathematik würde man von der Verknüpfung von Aussagen sprechen. 
 + 
 +---- 
 + 
 + 
 +<WRAP center round info 60%> 
 +Die **Negation (NOT)** einer Aussage $A$ ist genau wahr, wenn $A$ nicht wahr ist. 
 + 
 +Schreibweise: $\overline{A}$ 
 +</WRAP> 
 + 
 +**Beispiel:** 
 + 
 +$A:$ Informatik ist cool. 
 + 
 +$\overline A:$ Informatik ist nicht cool. 
 + 
 + 
 +---- 
 + 
 +* 
 +**Wahrheitstabelle:** 
 + 
 +^ $A$ ^ $\overline{A}$ | 
 +| 0   | 1              | 
 +| 1   | 0              | 
 + 
 + 
 +---- 
 + 
 + 
 +<WRAP center round info 60%> 
 +Die **Konjunktion (AND)** der Aussage $A$ und $B$ ist genau wahr, wenn $A$ und $B$ wahr sind. 
 + 
 +Schreibweise: $A \wedge B$  
 +</WRAP> 
 + 
 +**Beispiel:** 
 + 
 +$A:$ Heute ist es warm. 
 + 
 +$B:$ Heute ist schönes Wetter. 
 + 
 +$A \wedge B:$  Heute ist es warm und es ist schönes Wetter. 
 + 
 +---- 
 + 
 + 
 +**Wahrheitstabelle:** 
 + 
 +^ $A$ ^ $B$ ^ $A \wedge B$ | 
 +| 0   | 0   | 0            | 
 +| 0   | 1   | 0            | 
 +| 1   | 0   | 0            | 
 +| 1   | 1   | 1            | 
 + 
 +---- 
 + 
 +<WRAP center round info 60%> 
 +Die **Disjunktion (OR)** der Aussagen $A$ und $B$ ist genau wahr, wenn $A$ oder $B$ wahr oder beide wahr sind. 
 + 
 +Schreibweise: $A \vee B$  
 +</WRAP> 
 + 
 +---- 
 + 
 +**Beispiel:** 
 + 
 +$A:$ Heute ist es warm. 
 + 
 +$B:$ Heute ist schönes Wetter. 
 + 
 +$A \vee B:$  Heute ist es warm oder es ist schönes Wetter. 
 + 
 +---- 
 + 
 +**Wahrheitstabelle:** 
 + 
 +^ $A$ ^ $B$ ^ $A \vee B$ | 
 +| 0   | 0   | 0          | 
 +| 0   | 1   | 1          | 
 +| 1   | 0   | 1          | 
 +| 1   | 1   | 1          | 
 + 
 +---- 
 + 
 +=====Erstellen einer Wahrheitstabelle===== 
 + 
 +Wahrheitstabellen lassen sich auch für zusammengesetzte Aussagen erstellen, z.B. $\overline{A \wedge \overline{B}}$  : 
 + 
 +^ $A$ ^ $B$ ^ $\overline{B}$ ^ $A \wedge \overline{B}$ ^ $\overline{A \wedge \overline{B}}$ | 
 +| 0   | 0   | 1              | 0                       | 1                                  | 
 +| 0   | 1   | 0              | 0                       | 1                                  | 
 +| 1   | 0   | 1              | 1                       | 0                                  | 
 +| 1   | 1   | 0              | 0                       | 1                                  | 
 + 
 + 
 +---- 
 + 
 +=====Disjunktive Normalform===== 
 + 
 +Mit Hilfe der **Disjunktiven Normalform** lässt sich aus einer Wahrheitstabelle der entsprechende logische Ausdruck rekonstruieren. Dabei wird jede Zeile der Wahrheitstabelle mit dem Ergebnis 1 als **AND**-Verknüpfung notiert. Anschließend werden diese **AND**-Verknüpfungen mit **OR** verbunden. 
 + 
 +---- 
 + 
 + 
 +^ $A$ ^ $B$ ^ $X$ |                    | 
 +| 0   | 0   | 0   |                    | 
 +| 0   | 1   | 1   | $\bar{A} \wedge B$ | 
 +| 1   | 0   | 0   |                    | 
 +| 1   | 1   | 1   | $A \wedge B$       | 
 + 
 + 
 + 
 +$X = (\bar A \wedge B) \vee (A \wedge B)$ 
 + 
 + 
 + 
neuerlehrplan/gk/boolschealgebra.1778667094.txt.gz · Zuletzt geändert: von lutz